Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有丨FA丨=丨FD丨．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時，△ADF為正三角形．

（1）求C的方程；
（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點(diǎn)E，
（ⅰ）證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時，過點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，

A（3， ），F(xiàn)（ ，0）， ，

∴ ．

∵△ADF為正三角形，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

∴p=2．

∴C的方程為y2=4x．

當(dāng)D在焦點(diǎn)F的左側(cè)時， ．

又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6，

∵△ADF為正三角形，

∴3+ =p﹣6，解得p=18，

∴C的方程為y2=36x．此時點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸，不成立，舍．

∴C的方程為y2=4x．

（2）

解：（�。┰O(shè)A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，

∴D（x1+2，0），

∴kAD=﹣ ．

由直線l1∥l可設(shè)直線l1方程為 ，

聯(lián)立方程 ，消去x得 ①

由l1和C有且只有一個公共點(diǎn)得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，

這時方程①的解為 ，代入 得x=m2，∴E（m2，2m）．

點(diǎn)A的坐標(biāo)可化為 ，直線AE方程為y﹣2m= （x﹣m2），

即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴直線AE過定點(diǎn)（1，0）；

（ⅱ）直線AB的方程為 ，即 ．

聯(lián)立方程 ，消去x得 ，

∴ ，

∴ = ，

由（ⅰ）點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)E到直線AB的距離為：

= ，

∴△ABE的面積 = ，

當(dāng)且僅當(dāng)y1=±2時等號成立，

∴△ABE的面積最小值為16．

【解析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；（2）（�。┰O(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，利用直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，寫出直線AE的方程，將方程化為點(diǎn)斜式，可求出定點(diǎn)；（ⅱ） 利用弦長公式求出弦AB的長度，再求點(diǎn)E到直線AB的距離，得到關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值．