Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)n，試比較ln$\frac{n}{n-1}$與$\frac{1}{n}$的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出a的范圍即可；
（2）將a=1代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，令x=$\frac{n}{n-1}$，得到f（x）＞f（1）=0，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1；
（2）①當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（1，2]單調(diào)遞增；
∴f（x）在區(qū)間x∈[$\frac{1}{2}$，2]上有唯一極小值點(diǎn)，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0，
又f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（2）=-$\frac{1}{2}$+ln2，f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$-2ln2=$\frac{l{ne}^{3}-ln16}{2}$，
∵e³＞16，∴f（$\frac{1}{2}$）-f（2）＞0，即f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，
綜上，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0；
②當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=$\frac{n}{n-1}$，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
∴f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n}$+ln$\frac{n}{n-1}$＞0，
即ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
∴當(dāng)a=1時(shí)，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道中檔題．