Question

11．F是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，1）為定點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是（　�。�

• A． 9-$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 6+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 涉及|PF|時(shí)，一般可以想到橢圓的定義，所以設(shè)該橢圓的右焦點(diǎn)為F′，則：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|-|PF′|．這時(shí)候可以作出圖形，根據(jù)圖形即可看出||PA|-|PF′||≤|AF′|=$\sqrt{2}$，這樣即可求得|PA|-|PF′|的最小值，從而求出|PA|+|PF|的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'（2，0），
則|PF|+|PF′|=2a=6；
∴|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF′|
=6+|PA|-|PF′|；
由圖形知，當(dāng)P在直線AF′上時(shí)，
||PA|-|PF′||=|AF′|=$\sqrt{2}$，
當(dāng)P不在直線AF′上時(shí)，
根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，
||PA|-|PF′||＜|AF′|=$\sqrt{2}$；
∴當(dāng)P在F'A的延長(zhǎng)線上時(shí)，|PA|-|PF′|取得最小值-$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PF|的最小值為6-$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，以及橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊，及數(shù)形結(jié)合求最值．