Question

11．F是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦點，P是橢圓上的動點，A（1，1）為定點，則|PA|+|PF|的最小值是（　�。�

• A． 9-$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 6+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 涉及|PF|時，一般可以想到橢圓的定義，所以設該橢圓的右焦點為F′，則：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|-|PF′|．這時候可以作出圖形，根據(jù)圖形即可看出||PA|-|PF′||≤|AF′|=$\sqrt{2}$，這樣即可求得|PA|-|PF′|的最小值，從而求出|PA|+|PF|的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
如圖，設橢圓的右焦點為F'（2，0），
則|PF|+|PF′|=2a=6；
∴|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF′|
=6+|PA|-|PF′|；
由圖形知，當P在直線AF′上時，
||PA|-|PF′||=|AF′|=$\sqrt{2}$，
當P不在直線AF′上時，
根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，
||PA|-|PF′||＜|AF′|=$\sqrt{2}$；
∴當P在F'A的延長線上時，|PA|-|PF′|取得最小值-$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PF|的最小值為6-$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的標準方程，橢圓的焦點，以及橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊，及數(shù)形結合求最值．