已知f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的對稱軸間的距離不小于
π
2

(1)求ω的取值范圍
(2)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊.且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,當(dāng)ω最大時.求△ABC面積.
分析:(1)二倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)化簡f(x)=
m
n
2sin(2ωx+
π
6
)
,根據(jù)
π
π
2
,ω>0
,求出ω的范圍.
(2)先求f(A)=1時,A的值,利用余弦定理求出bc=2,然后通過三角形的面積公式,求△ABC面積.
解答:解:(1)f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2
3
cosωxsinωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin(2ωx+
π
6
)
(3分)
由題意知
π
π
2
,ω>0

∴0<ω≤1.(6分)
(2)由于f(A)=2sin(2ωA+
π
6
)
=1,
由于(1)知ω的最大值為1,
sin(2A+
π
4
)=
1
2
,
π
6
<2A+
π
6
13
6
π
,∴A=
π
3

由余弦定理得b2+c2-bc=3,又b+c=3
∴(b+c)2-3bc=3∴bc=2,
S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
2
(12分)
點評:本題是中檔題,考查向量的數(shù)量積,三角函數(shù)的化簡求值,余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的單調(diào)性.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)若f(x)的圖象上在兩點A(m,f(m))、B(n,f(n))處的切線都與y軸垂直,且函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上存在零點,求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性,在f(x)的圖象上是否存在一點M,使得f(x)在點M的切線斜率為2b?若存在,求出M點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照一模)已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離不小于π.
(I)求ω的取值范圍;
(II)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,a=
7
,S△ABC=
3
2
,當(dāng)ω取最大值時,f(A)=1,求b,c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:日照一模 題型:解答題

已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距離不小于π.
(I)求ω的取值范圍;
(II)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,a=
7
,S△ABC=
3
2
,當(dāng)ω取最大值時,f(A)=1,求b,c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:煙臺二模 題型:解答題

已知f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的對稱軸間的距離不小于
π
2

(1)求ω的取值范圍
(2)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊.且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,當(dāng)ω最大時.求△ABC面積.

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