Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn ， 已知4Sn=an2+2an ．
（1）求a1級(jí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn ， 且bn= ，若λTn＜n+（﹣1）n36對(duì)n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=an2+2an，

∴4Sn+1=an+12+2an+1，

兩式相減得：4an+1=an+12+2an+1﹣（an2+2an），

整理得：（an+1+an）（an+1﹣an）=2（an+1+an），

又∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，

∴an+1﹣an=2，

又∵4a1= +2a1，

∴a1=2或a1=0（舍），

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n

（2）解：bn=

=

=

= ﹣ ，

∴Tn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ，

∵λTn＜n+（﹣1）n36對(duì)n∈N*恒成立，

∴λ＜ =n+1+（﹣1）n 對(duì)n∈N*恒成立，

記f（n）=n+1+（﹣1）n ，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n）=n+1+

=37+n+

≥37+2 =37+26=49，

當(dāng)且僅當(dāng)n= 即n=6時(shí)取等號(hào)；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）=n+1﹣

=n﹣ ﹣35

≥1﹣ ﹣35=﹣70；

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為：（﹣∞，﹣70）

【解析】（1）利用4Sn=an2+2an與4Sn+1=an+12+2an+1作差、整理得an+1﹣an=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（2）通過(guò)裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知Tn= ，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（n）=n+1+（﹣1）n 的最小值，通過(guò)對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．