Question

在直角坐標(biāo)平面上，畫出下列不等式組

x-1≥0 x-y-3≤0 2x+y-2≤0

表示的區(qū)域，若點(diǎn)M（x，y）是上述區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，計算：
（1）b=x+y；    
（2）b=

y

x

；  
（3）b=x²+y²；指出b的最大值與最小值，并指出b最大，最小時相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）b的幾何意義為截距，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．
（2）b的幾何意義為過原點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．
（3）b的幾何意義為到原點(diǎn)的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
（1）b的幾何意義為截距，由b=x+y得，y=-x+b，平移直線y=-x+b，可以當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，直線截距最小，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時直線截距最大，
由

x-1=0 x-y-3=0

，解得

x=1 y=-2

，
即B（1，-2），此時b_min=1-2=-1，
A（1，0），此時b_max=1+0=1．
（2）b的幾何意義為過原點(diǎn)的斜率，則由圖象可知，b_max=0，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，b取得最小值為b_min=

-2

1

=-2．
（3）b的幾何意義為到原點(diǎn)的距離的平方，則由圖象可知OA的距離最小，OB的距離最大，
即b_max=1²+（-2）²=1+4=5，b_min=1²+0²=1．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，分別根據(jù)b的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握數(shù)形結(jié)合的求解思想．