Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），討論函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數(shù)；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都滿足（其中k是直線AB的斜率），則稱函數(shù)y=f（x）為優(yōu)美函數(shù)，當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）是否是優(yōu)美函數(shù)，如果是，請證明，如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=，注意到定義域為（0，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等價于解含參數(shù)的一元二次不等式，討論參數(shù)的范圍即可
（2）先將函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)M（x）=（x-e）²+a的圖象交點個數(shù)問題，分別研究這兩個函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和極值，即可討論出函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點的個數(shù)
（3）當(dāng)a=0時，f（x）=lnx，，若f（x）是優(yōu)美函數(shù)，則，即，即，故本題的關(guān)鍵是看上式是否成立，證明此不等式成立需利用換元法，并構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)
解答：解：
當(dāng)a≥0時，f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：
令，則
當(dāng)0＜x＜e時，ϕ'（x）＞0，當(dāng)x＞e時，ϕ'（x）＜0
所以當(dāng)x=e時，ϕ（x）取最大值，且當(dāng)x→0時，→-∞
當(dāng)x→+∞時，→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是當(dāng)時，H（x）有兩個零點；
當(dāng)時，H（x）有一個零點；
當(dāng)時，H（x）沒有零點．
（3）當(dāng)a=0時，f（x）=lnx  
若f（x）是優(yōu)美函數(shù)，則，即，于是
解得：…、①
令，則①可化為
令F（t）=lnt-t+1，則F（t）在（1，+∞）上遞減，當(dāng)t=1時取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0
令，于是
當(dāng)G（t）在（1，+∞）上遞增，當(dāng)t=1時取最小值G（1）=0、
于是①成立，所以
即
所以函數(shù)f（x）為優(yōu)美函數(shù)．
點評：本題綜合考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題的方法，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法