【題目】如圖,已知斜三棱柱, , , 在底面上的射影恰為的中點(diǎn),且.
(1)求證: 平面;
(2)求到平面的距離;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】試題分析:(1)由題意得A1D⊥平面ABC,根據(jù)面面垂直判定定理得平面A1ACC1⊥平面ABC,由BC⊥AC,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得BC⊥平面A1ACC1,即得BC⊥AC1,又已知,所以由線面垂直判定定理得平面;(2)利用向量求線面距離,首先求平面法向量,再根據(jù)向量投影求距離:先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求平面法向量;再根據(jù)向量投影求距離(3)利用向量求二面角:先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求平面法向量;再根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系求二面角的平面角的余弦值.
試題解析:解:(1)∵A1在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D,
∴平面A1ACC1⊥平面ABC,
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面A1ACC1,
∴BC⊥AC1,
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B,
∴AC1⊥平面A1BC。
(2)如圖所示,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AC1⊥平面A1BC,
∴AC1⊥A1C,
∴四邊形A1ACC1是菱形,
∵D是AC的中點(diǎn),
∴∠A1AD=60°,
∴A(2,0,0),A1(1,0,),B(0,2,0), C1(-1,0,),
∴=(1,0,),=(-2,2,0),
設(shè)平面A1AB的法向量=(x,y,z),
∴,
令z=1,
∴=(,,1),
∵=(2,0,0),
∴,
∴C1到平面A1AB的距離是
(3)平面A1AB的法向量=(,,1),平面A1BC的法向量=(-3,0,),
∴,
設(shè)二面角A-A1B-C的平面角為θ,θ為銳角,
∴,
∴二面角A-A1B-C的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,且對任意的n∈N* , 均有an , Sn , 成等差數(shù)列,則an= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|a≤x≤a+4},B={x|x>1 或x<﹣6}.
(1)若A∩B=,求a的取值范圍;
(2)若A∪B=B,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2, =λ .
(1)若λ=1,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù),
(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),且|z﹣1|=|﹣1+i|,求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)z滿足z+ 是實(shí)數(shù),且1<z+ ≤6,求復(fù)數(shù)z.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1) 若,求的圖象在處的切線方程;
(2)若在定義域上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)若存在兩個極值點(diǎn),求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市理論預(yù)測2007年到2011年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示
年份2007+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口數(shù)y(十萬) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)請根據(jù)表提供的數(shù)據(jù),求最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)據(jù)此估計(jì)2012年該城市人口總數(shù).
參考公式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1到9這9個數(shù)字中任取3個偶數(shù)和3個奇數(shù),組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),
(1)有多少個偶數(shù)?
(2)若奇數(shù)排在一起且偶數(shù)排在一起,這樣的六位數(shù)有多少個?
(3)若三個偶數(shù)不能相鄰,這樣的六位數(shù)有多少個?
(4)若三個偶數(shù)從左到右的排練順序必須由大到小,這樣的六位數(shù)有多少個?
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