Question

已知函數(shù) f （x）=px+-2lnx．（其中p＞0為常數(shù)）
（1）求f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=，若在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，求正數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f （x）=px+-2lnx，
∴，
由＞0，
兩邊同時乘以x²，得px²-2x-p＞0．
∵p＞0為常數(shù)，
∴解方程px²-2x-p=0，得
x==，
∴px²-2x-p＞0的解集是（-∞，）∪．
∵f （x）=px+-2lnx的定義域是{x|x＞0}，
∴函數(shù) f （x）=px+-2lnx單調(diào)增區(qū)間為 （，+∞）．
（2）∵在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，
∴，，
∴g（x）∈[1，2]．
∵f （x）=px+-2lnx在[1，2]內(nèi)是增函數(shù)，
∴，
∵在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴f（x）_max＞g（x）_min，
∴，
解得p＞．
∴p∈（，+∞）．
分析：（1）由f （x）=px+-2lnx，知，由＞0，能求出函數(shù) f （x）=px+-2lnx單調(diào)增區(qū)間．
（2）由在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，知．由f （x）=px+-2lnx在[1，2]內(nèi)是增函數(shù)，知，由在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，知f（x）_max＞g（x）_min，由此能求出p的范圍．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．