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已知函數f（x）=x3+x（-2＜x＜2），則不等式f（a）+f（a2-2）＜0的解集為
（-2，0）∪（0，1）
（-2，0）∪（0，1）
．
分析：先根據導數判斷出函數f（x）在（-2，2）上是增函數，接著利用函數奇偶性的定義判斷出函數是奇函數，進而利用函數的單調性與奇偶性結合解不等式的方法解出參數的范圍．
解答：解：因為函數f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1q且f′（x）＞0在（-2，2）上恒成立．
所以f（x）在（-2，2）上是增函數．
因為函數f（x）=x3+x（-2＜x＜2），
所以函數的定義域關于原點對稱且f（-x）=-（x3+x）=-f（x）
所以函數f（x）是定義域內的奇函數．
又因為不等式f（a）+f（a2-2）＜0成立
所以f（a）＜f（2-a2）
即-2＜a＜2，-2＜2-a2＜2且a＜2-a2
解得-2＜a＜0或0＜a＜1
所以不等式f（a）+f（a2-2）＜0的解集為（-2，0）∪（0，1）．
故答案為（-2，0）∪（0，1）．
點評：解決此類問題的關鍵是正確利用函數的單調性與函數的奇偶性之間的關系，結合不等式的解法解出參數的范圍，此知識點是高考考查的重點之一．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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