Question

5．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=5，M是BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R），若$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$，則△ABC的面積為$\frac{5\sqrt{11}}{4}$．

Answer 1

分析 在△ABC的頂點(diǎn)A作邊BC的垂線BO，垂足為O，這樣可表示出cosB=$\frac{|\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{AB}|}$，cosC=$\frac{|\overrightarrow{CO}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，從而得到$\overrightarrow{MP}=\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{|\overrightarrow{CO}|}\overrightarrow{AC}$，而根據(jù)已知條件及中線向量的表示即可得到$\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AC}$，所以便得出O是BC的中點(diǎn)，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根據(jù)三角形的面積公式可求出△ABC的面積．

解答 解：如圖所示，過(guò)A作邊BC的垂線，垂足為O，則：
cosB=$\frac{|\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{AB}|}$，cosC=$\frac{|\overrightarrow{CO}|}{|\overrightarrow{AC}|}$；
∴$\overrightarrow{MP}=\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{|\overrightarrow{CO}|}\overrightarrow{AC}$；
根據(jù)題意知λ≠0；
∴$\overrightarrow{MP}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}=\frac{1}{|\overrightarrow{CO}|}$；
∴$|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO}|$；
即O是邊BC的中點(diǎn)，M與O重合；
∴在Rt△ABM中，$|BM|=\frac{5}{2}，|AB|=3，AM⊥BM$；
∴$sinB=\frac{\sqrt{9-\frac{25}{4}}}{3}=\frac{\sqrt{11}}{6}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•3•5•\frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{5\sqrt{11}}{4}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{11}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦函數(shù)的定義，向量加法的平行四邊形法則，以及直角三角形三邊的關(guān)系，三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．