Question

在數(shù)列{a_n}中，且
（1）求a₃、a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：對(duì)?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)列遞推式，計(jì)算a₃、a₄，猜想通項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，再用分析法進(jìn)行證明．
解答：（1）解：∵，
∴a₃=，a₄=，
猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①顯然當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，結(jié)論成立，即
則n=k+1時(shí)，===
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
綜上，；
（2）證明：=（）
∴b₁+b₂+…+b_n=[（）+（-）+…+（）]=（）
要證b₁+b₂+…b_n，只需證明（）
即證
即證3n+2-2＜3n-1
即證，顯然成立
∴b₁+b₂+…+b_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．