Question

設(shè)a為非零實數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）=x²+a|x|+1，x∈R的以下性質(zhì)中，錯誤的是（ ）
A．函數(shù)f（x）一定是個偶函數(shù)
B．函數(shù)f（x）一定沒有最大值
C．區(qū)間[0，+∞）一定是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
D．函數(shù)f（x）不可能有三個零點

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，判斷f（-x）=f（x）則函數(shù)為偶函數(shù)；根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)沒有最大值；取特殊值法，然后結(jié)合函數(shù)圖象，判定單調(diào)遞增區(qū)間；把函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程解的問題解答即可．
解答：解：（1）∵-x∈R
∴f（-x）=（-x）²+a|-x|+1=x²+a|x|+1=f（x）
∴函數(shù)f（x）一定是個偶函數(shù)．
（2）∵二次函數(shù)f（x）=x²+a|x|+1，開口向上，所以函數(shù)f（x）一定沒有最大值．

（3）令a=-2，則f（x）=x²-2|x|+1畫出如上圖所示的函數(shù)圖象，可知在區(qū)間[0，∞]不是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，所以C項錯誤．
（4）方程x²+ax+1=0，△=a²-4≥-4，此方稱可能無解、一個解或者兩個解，所以函數(shù)f（x）=x²+a|x|+1可能無零點、兩個零點、或者四個零點．
故選C．
點評：本題考查了二次函數(shù)的奇偶性，通過圖象觀察最值以及單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題，形象直觀．