Question

（2013•寧波模擬）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得到極值；
（2）f（x）≥3恒成立即a≥

3

x

+

lnx

x

恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=

3

x

+

lnx

x

，x∈（0，e]的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）為單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時f（x）取得極小值，f（x）的極小值為f（1）=1，f（x）無極大值；
（2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥

3

x

+

lnx

x

在x∈（0，e]上恒成立，
令g(x)=

3

x

+

lnx

x

，x∈（0，e]，
則g′(x)=-

3

x2

+

1-lnx

x2

=-

2+lnx

x2

，
令g′（x）=0，則x=

1

e2

，
當(dāng)0＜x＜

1

e2

時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)

1

e2

＜x＜e時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，
∴g(x)max=g(

1

e2

)=3e2-2e2=e2，
∴a≥e²，即a的取值范圍為a≥e²．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值及函數(shù)恒成立問題，具有一定綜合性，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．