Question

學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉一個(gè)例子．
甲：由“若三角形周長(zhǎng)為l，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r=

2S

l

”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，則其外接圓半徑r=

a2+b2

2

”類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則其外接球半徑r=

a2+b2+c2

3

”．
這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論正確的是

 

．

Answer 1

分析：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．但由于類比推理的結(jié)果不一定正確，故我們還需要進(jìn)一步的證明．

解答：解：甲的結(jié)論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r=

3V

S

”證明如下：
設(shè)三棱錐的四個(gè)面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴內(nèi)切球半徑r=

3V

S

甲同學(xué)的類比結(jié)論是正確的
而若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c
其外接球直徑等于棱長(zhǎng)為a、b、c的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙甲學(xué)的類比結(jié)論是不正確的
故答案為：甲

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．但類比推理的結(jié)果不一定是正確的，還需要是進(jìn)一步的論證．