Question

心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如右表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中，做出觀測(cè)值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；
（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）確定X的可能值有0，1，2．依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可．

解答： 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測(cè)值K2=

50×(22×12-8×8)2

30×20×30×20

=

50

9

≈5.556＞5.024，
所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)；

（2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?span id="yzrhjao" class="MathJye">

5≤x≤7 6≤y≤8

（如圖所示）

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，
∴由幾何概型P(A)=

1 2 ×1×1

2×2

=

1

8

即乙比甲先解答完的概率為

1

8

；

（3）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有C82=28種，其中甲、乙兩人沒有一個(gè)人被抽到有C62=15種；恰有一人被抽到有C21•C61=12種；兩人都被抽到有C22=1種，
∴X可能取值為0，1，2，P(X=0)=

15

28

，P(X=1)=

12

28

=

3

7

，P(X=2)=

1

28

X的分布列為：

X	0	1	2
P	15 28	12 28	1 28

∴EX=0×

15

28

+1×

12

28

+2×

1

28

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，根據(jù)所給的臨界值表進(jìn)行比較，本題是一個(gè)綜合題．