Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求a，b的值；   
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=2取得極值，說明導(dǎo)函數(shù)在x=2時值為0，再根據(jù)其圖象在x=1處的切線斜率為-3，列出方程組即可求出a、b的值；
（2）令f′（x）＞0，可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：∵f′（x）=3x²+6ax+3b，函數(shù)f（x）在x=2取得極值，
∴f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0，即4a+b+4=0…①，
∵圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3，即2a+b+2=0…②，
聯(lián)解①②可得a=-1，b=0；
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
當(dāng)f′（x）＞0時，解得x＜0或x＞2；當(dāng)f′（x）＜0時，解得0＜x＜2，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，0）和（2，+∞）；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．