Question

已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

Acosx，

A

2

cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）滿足方程f（x）=k（3＜k＜6），求此方程在[0，

7π

6

]內(nèi)所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積與輔助角公式可得f（x）=Asin（2x+

π

6

），其最大值為6，可得A的值；
（Ⅱ）利用三角恒等變換可得g（x）=6sin（4x+

π

3

），當(dāng)x∈[0，

5π

24

]時(shí)，（4x+

π

3

）∈[

π

3

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．
（Ⅲ）作出y=6sin（4x+

π

3

），x∈[0，

7π

6

]的圖象，即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x=

3

2

Asin2x+

A

2

cos2x=Asin（2x+

π

6

），
又A＞0，∴f（x）_max=A=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=6sin（2x+

π

6

），將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，得f（x+

π

12

）=6sin[2（x+

π

12

）+

π

6

）]=6sin（2x+

π

3

），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得g（x）=6sin（4x+

π

3

），
∵x∈[0，

5π

24

]，∴（4x+

π

3

）∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴sin（4x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，6sin（4x+

π

3

）∈[-3，6]，
即g（x）在[0，

5π

24

]上的值域?yàn)閇-3，6]．
（Ⅲ）∵f（x）=6sin（2x+

π

6

），
∴當(dāng)x∈[0，

7π

6

]時(shí)，∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

5π

2

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，6sin（2x+

π

6

）∈[-6，6]，
作出y=6sin（2x+

π

6

），x∈[0，

7π

6

]的圖象，如下：

設(shè)y=k與y=6sin（2x+

π

6

），x∈[0，

7π

6

]的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂、x₃（自左向右），
則x₁+x₂=

π

6

×2=

π

3

；

x₂+x₃=

2π

3

×2=

4π

3

；
又y=6sin（2x+

π

6

）的周期T=π，∴x₁+x₃=π；
∴2（x₁+x₂+x₃）=

π

3

+

4π

3

+π=

8π

3

，
∴x₁+x₂+x₃=

4π

3

，即此方程在[0，

7π

6

]內(nèi)所有實(shí)數(shù)根之和為

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（Ⅲ）中作圖是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理、分析與運(yùn)算能力，屬于難題．