Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求m；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求m；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可研究f（x）的單調(diào)性；
（3）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=1-m，又f（1）=m，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）） 處的切線方程為：
y-m=（1-m）（x-1），…2分
 令x=0，得y=2m-1，
∴2m-1=1，解得m=1．                …4分
（2）易得函數(shù) f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞） 
由（1）知 f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$
∴①當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞） 單調(diào)遞增； …5分
②當(dāng)m＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞m，由f′（x）＜0 可得0＜x＜m，
∴f（x）在（0，m）單調(diào)遞減，在（m，+∞）單調(diào)遞增．         …7分
綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞） 單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0 時(shí)，f（x）在（0，m） 單 調(diào)遞減，在 （m，+∞）單調(diào)遞增．                            …8分 
（3）對(duì)任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1 恒成立，等價(jià)于f（b）-b＜f（a）-a 恒成立
 設(shè)h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），…10分
則等價(jià)于h（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞減，
即h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-1≤0 在（0，+∞） 恒成立                  
∴m≥-x²+x（x＞0）恒成立，…11分
∵-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∴（-x²+x）_max=$\frac{1}{4}$…12分
∴m≥$\frac{1}{4}$ （對(duì)m=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{4}$ 時(shí)成立），…13分
 m的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．                          …14分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值的求解，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．