Question

19．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）圖象過(guò)點(diǎn)（e，0），f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若x＞0時(shí)，xf'（x）＜2恒成立，則不等式f（x）+2≥2lnx解集為（0，e]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+2-2lnx，x＞0，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由f（x）+2≥2lnx得f（x）+2-2lnx≥0，
設(shè)g（x）=f（x）+2-2lnx，x＞0，
則g′（x）=f′（x）-$\frac{2}{x}$=$\frac{xf′（x）-2}{x}$，
∵x＞0時(shí)，xf'（x）＜2恒成立，
∴此時(shí)g′（x）=$\frac{xf′（x）-2}{x}$＜0．
即此時(shí)函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵y=f（x）（x∈R）圖象過(guò)點(diǎn)（e，0），
∴f（e）=0，
則g（e）=f（e）+2-2lne=2-2=0，
則f（x）+2-2lnx≥0，等價(jià)為g（x）≥0，
即g（x）≥g（e），
∵函數(shù)g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴0＜x≤e，
即不等式f（x）+2≥2lnx解集為（0，e]，
故答案為：（0，e]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．