Question

如圖，兩個(gè)三角形ABC和A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O，且.

(1)求證：A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC;

(2)求的值.

Answer 1

【探究】 用平面幾何知識(shí)可以證明兩條直線(xiàn)平行；用等角定理可以證明兩個(gè)角相等，從而可以證明兩個(gè)三角形相似.

(1)證明：∵AA′與BB′交于點(diǎn)O，且.

∴AB∥A′B′.

同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.

(2)解：∵A′B′∥AB,AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，

∴∠BAC=∠B′A′C′,

同理∠ABC=∠A′B′C′.

因此△ABC—△A′B′C′,

且.

∴.

【規(guī)律總結(jié)】 等角定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論合成的.

(1)若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.

(2)若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).