Question

已知函數的最大值為g（a）．
（1）設，求t的取值范圍；
（2）用第（1）問中的t作自變量，把f（x）表示為t的函數m（t）；
（3）求g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據根號內有意義求出自變量的范圍，再對t兩邊平方結合x的范圍即可求出結論；
（2）直接根據=t²-1即可求出m（t）；
（3）根據第二問的結論知道g（a）即為函數M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值；然后再結合二次函數在閉區(qū)間上的最值求法分對稱軸和區(qū)間的三種位置關系分別討論即可．（注意開口方向）
解答：解：（1）令t=+，要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范圍[，2]．
（2）由（1）知，=t²-1
∴M（t）=a（t²-1）+t=at²+t-a，（≤t≤2）
（3）由題意得g（a）即為函數M（t）=at²+t-a在t∈[，2]的最大值，
注意到直線t=-是拋物線M（t）的對稱軸，分別分以下情況討論．
當a＞0時，y=M（t）在t∈[，2]上單調遞增，∴g（a）=M（2）=a+2．
當a=0時，M（t）=t，t∈[，2），∴g（a）=2；
當a＜0時，函數y=M（t），t∈[，2]圖象開口向下；
若t=-∈（0，]即a≤-時，則g（a）=M（）=；
若t=-∈（，2]即-＜a≤-時，則g（a）=M（-）=-a-；
若t=-∈（2，+∞），-＜a＜0時，則g（a）=M（2）=a+2．
綜上得：g（a）=
點評：本題主要考察分段函數的應用問題以及分類討論思想的應用．解決本題的關鍵在于第一問中的t的取值范圍不能出錯．而第三問涉及到二次函數在閉區(qū)間上的最值討論，一定要注意討論對稱軸和區(qū)間的位置關系．