Question

（2011•遂寧二模）甲、乙二人進(jìn)行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進(jìn)行．已知甲每次擊中目標(biāo)的概率為

2

3

，乙每次擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，若某人射擊時(shí)出現(xiàn)連續(xù)兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現(xiàn)連續(xù)不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時(shí)，甲所進(jìn)行的比賽次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“甲恰在第二次射擊后停止比賽布乙尚未停止比賽”為事件A，由P（A）=

2

3

•(1-

2

3

)2•(1-

1

2

•

1

2

)能求出甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為2，3，4，5，分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）記“甲恰在第二次射擊后停止比賽布乙尚未停止比賽”為事件A，
則P（A）=

2

3

•(1-

2

3

)2•(1-

1

2

•

1

2

)=

1

18

．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=

1

3

•

1

3

=

1

9

，
P（ξ=3）=

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

27

，
P（ξ=4）=

2

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

27

，
P（ξ=5）=

C

1 4

(

2

3

)3•

1

3

+3•(

2

3

)2•(

1

3

)2+(

2

3

)4=

20

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	1 9	2 27	2 27	20 27

故Eξ=2×

1

9

+3×

2

27

+4×

2

27

+5×

20

27

=

40

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．