Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為線段BC₁的中點，E為線段A₁C₁上的動點，則下列四個結論：
①存在點E，使EF∥BD；
②存在點E，使EF⊥平面AB₁C₁D；
③EF與AD₁所成的角不可能等于60°；
④三棱錐B₁-ACE的體積隨動點E而變化．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：設正方體的邊長為1，以點D為坐標原點，以DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間線面平行與垂直的判定及性質定理、向量的夾角判斷異面直線所成角、三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答： 解：設正方體的邊長為1，以點D為坐標原點，以DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），點F(

1

2

，1，

1

2

)，
則

DE

=

DC1

+

C1E

，而

C1E

=λ

C1A1

(0≤λ≤1)，

DC1

=(0，1，1)，

C1A1

=(1，-1，0)，
∴

C1E

=(λ，-λ，0)，因此

DE

=(λ，1-λ，1)，
∴E=（λ，1-λ，1），∴

EF

=(

1

2

-λ，λ，-

1

2

)，
對于①而言就是否存在實數(shù)λ，使EF∥BD，而

BD

=（-1，-1，0），

-1

1 2 -λ

=

-1

λ

=

0

- 1 2

，此即

-1

λ

=0，

-2

1-2λ

=0，這樣的λ不存在，∴①錯誤；
對于②而言就是否存在實數(shù)λ，使EF⊥平面AB₁C₁D，首先我們在平面AB₁C₁D內任意找到兩條相交直線的方向向量，不妨就找

C1B1

和

C1D

，
∴

EF • C1B1 =0 EF • C1D =0

，于是

1 2 -λ=0 1 2 -λ=0

⇒λ=

1

2

，即就是當E為C₁A₁的中點的時候，∴②正確；
同理，對于③而言，還是判斷這樣的實數(shù)λ是否存在，

AD1

=(-1，0，1)

EF

=(

1

2

-λ，λ，-

1

2

)，
設其夾角為θ，則cosθ=|

AD1 • EF

| AD1 |•| EF |

|=|

λ-1

2 × ( 1 2 -λ)2+λ2+ 1 4

|，
令θ=60°，此即|

λ-1

2 × ( 1 2 -λ)2+λ2+ 1 4

|=

1

2

，將上式平方解得λ=

1

2

，將λ回代原式結論成立，∴這樣的λ存在；③錯誤；
對于④來說，E點無論在A₁C₁上怎樣移動，底面△ACE的高不變，故而底面面積不變，三棱錐的高為定值，所以其體積不會隨著E點的變化而變化，故④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用空間線面平行與垂直的判定及性質定理、向量的夾角判斷異面直線所成角、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力和計算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．