Question

過原點O作圓x²+y²-2x-4y+4=0的任意割線交圓于P₁，P₂兩點，求P₁P₂的中點P的軌跡．

Answer 1

分析：設(shè)割線OP₁P₂的直線方程為y=kx與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0，再由韋達定理得：x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

，因為P是P₁P₂的中點，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

，再由P點在直線y=kx上，得到k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

整理即可．要注意范圍．

解答：解：設(shè)割線OP₁P₂的直線方程為y=kx代入圓的方程，
得：x²+k²x²-2x-4kx+4=0
即（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0
設(shè)兩根為x₁，x₂即直線與圓的兩交點的橫坐標(biāo)；
由韋達定理得：
x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

又設(shè)P點的坐標(biāo)是（x，y）
P是P₁P₂的中點，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

又P點在直線y=kx上，
∴k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

兩端乘以1+(

y

x

)2，得x+

y2

x

=1+2

y

x

即x²+y²=x+2y
(x-

1

2

)2+(y-1)2=

5

4

這是一個一點(

1

2

，1)為中心，以

5

2

為半徑的圓，
所求軌跡是這個圓在所給圓內(nèi)的一段�。�

點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，韋達定理，中點坐標(biāo)公式及點的軌跡方程．