Question

（2014•達州一模）已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．
（I）求函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

2

）上是單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意k∈[-1，1]，函數(shù)y=kx，x∈（0，6]的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導函數(shù)y=h′（x）的圖象確定a，b，c．然后求出函數(shù)f（x），求出導函數(shù)y=f′（x），可得函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率k=f'（3）．
（Ⅱ）要使求函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

2

）上是單調函數(shù)，則f'（x）的符號沒有變化，可以求得實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）函數(shù)y=kx的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可得到c的范圍．

解答：解：（I）二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c的導數(shù)為y=h′（x）=2ax+b，由導函數(shù)y=h′（x）的圖象可知，
導函數(shù)y=h′（x）過點（4，0）和（0，-8），
代入h′（x）=2ax+b得b=-8，a=1，即h（x）=x²-8x+c，h′（x）=2x-8，
f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x²-8x+c，f′(x)=

6

x

+2x-8，所以函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率k=f'（3）=2+2×3-8=0，
所以函數(shù)f（x）在點（3，f（3））處的切線斜率為0．
（Ⅱ）因為f（x）=6lnx+x²-8x+c的定義域為（0，+∞），則f′(x)=

6

x

+2x-8=

2x2-8x+6

x

=

2(x-2)2-2

x

在（m，m+

1

2

）上導數(shù)符號不變化．
因為，f′(x)=

6

x

+2x-8=

2(x-1)(x-3)

x

，
當x變化時
 

	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞）．
單調遞減區(qū)間為（1，3）．
若函數(shù)在（m，m+

1

2

）上是單調遞減函數(shù)，則有

m≥1 m+ 1 2 ≤3

，解得1≤m≤

5

2

．
若函數(shù)在（m，m+

1

2

）上是單調遞增函數(shù)，則有

m≥0 m+ 1 2 ≤1

或者m≥3，解得0≤m≤

1

2

或m≥3．
綜上若函數(shù)在（m，m+

1

2

）上是單調函數(shù)，則0≤m≤

1

2

或m≥3或1≤m≤

5

2

．
（Ⅲ）對任意k∈[-1，1]，函數(shù)y=kx，x∈（0，6]的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，
則只需要-x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．
即-x＞6lnx+x²-8x+c恒成立，所以c＜-x²-6lnx+7x．
設g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則g′(x)=-2x-

6

x

+7=

-2x2+7x-6

x

=

-(2x-3)(x-2)

x

，x∈(0，6]，
當x∈(

3

2

，2)，g′(x)＞0此時函數(shù)單調遞增，
當x∈(0，

3

2

)和(2，6)，g′(x)＜0，此時函數(shù)單調遞減．
所以g（x）的最小值為g（

3

2

）或g（6）的較小者．
g(

3

2

)=-

9

4

-6ln?

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln?

3

2

，g（6）=-36-6ln6+7×6=6-6ln6，
g(

3

2

)-g(6)=

9

4

-6ln6-6ln

3

2

=

9

4

+12ln2＞0，所以g（x）的最小值為g（6）=6-6ln6，
所以c＜6-6ln6，又c＜3，所以c＜6-6ln6．
即c的取值范圍是（-∞，6-6ln6）．

點評：本題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．綜合性較強，難度較強．