Question

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（-2）=f（4）=-16，且f（x）最大值為2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由條件可得二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=1，可設函數(shù)f（x）=a（x-1）²+2，a＜0．根據(jù)f（-2）=-16，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）分當t≥1時和當0＜t＜1時兩種情況，分別利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（-2）=f（4）=-16，且f（x）最大值為2，
故函數(shù)的圖象的對稱軸為x=1，
可設函數(shù)f（x）=a（x-1）²+2，a＜0．
根據(jù)f（-2）=9a+2=-16，求得a=-2，
故f（x）=-2（x-1）²+2=-2x²+4x．
（2）當t≥1時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，
故最大值為f（t）=-2t²+4t，
當0＜t＜1時，函數(shù)f（x）在[t，1]上是增函數(shù)，在[1，t+1]上是減函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為f（1）=2．
綜上，f_max（x）=

2 ，0＜t＜1 -2t2+4t ， t≥1

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．