Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1的圖象過(guò)M（1，5），且在M處的切線的斜率為8．
（1）求a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在M處切線的斜率為8，則f′（1）等于8，把（1，5）代入f（x）得到f（1）=5，聯(lián)立即可求出a與b的值；（2）把（1）求出的a與b的值代入到f′（x）后，令f′（x）大于0解出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）小于0解出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（3）在閉區(qū)間[-1，1]上，由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即可得到函數(shù)的最小值為f（-），然后分別求出f（-1）和f（1）比較大小得到函數(shù)的最大值即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b由已知∴∴
（2）f'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
由f'（x）＞0得或x＜-1
由f'（x）＜0得
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

（3）∴由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
∴f（x）在[-1，1]上的最小值為，
又f（-1）=1，f（1）=5
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為5
綜合得：f（x）在[-1，1]上的最小值為，最大值為：5
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的增減性，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是一道中檔題．