Question

(本題滿分15分) 四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分別是線段CE，PB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足＝＝λ∈(0，1)．

 

 

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值為．

 

Answer 1

【答案】

方法一：

(Ⅰ) 證明：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz，其中K為BC的中點(diǎn)，

 

 

不妨設(shè)PA＝2，則，，

，，，．

由，得

，，

，

設(shè)平面的法向量=(x，y，z)，則

，，

得 

可取=(，1，2)，于是

，故，又因?yàn)?i>FG平面PDC，即//平面．

 

 (Ⅱ) 解：，，

設(shè)平面的法向量，則，，

可取，又為平面的法向量．

由，因?yàn)閠an＝，cos＝，

所以，解得或(舍去)，

故．                         

方法二：

(Ⅰ) 證明：延長(zhǎng)交于，連，．得平行四邊形，則// ，

 

 

所以．

又，則，

所以//．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052202574703128733/SYS201205220258597656947912_DA.files/image050.png">平面，平面，

所以//平面．     …………6分

(Ⅱ)解：作FM于，作于，連．

則，為二面角的平面角．

，不妨設(shè)，則，，

由  得 ，即 ．

【解析】略