Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a（a≠0），公比為q的等比數(shù)列，設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（2）設(shè)c_n=log₄b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a=2，q=2，是否存在正正數(shù)k，使得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞k對(duì)任意正正數(shù)n恒成立？若存在，求出正整數(shù)k的值或范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)和公比，即可求出相應(yīng)的通項(xiàng)公式，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（2）數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即得到得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a（a≠0），公比為q的等比數(shù)列，
∴b_n=a_n+1-a_n=aqⁿ-aq^n-1=aq^n-1（q-1），
當(dāng)q=1時(shí)，T_n=0；
當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列{b_n}是公比為q，首項(xiàng)為a（q-1）的等比數(shù)列，
∴T_n=

a(q-1)(1-qn)

1-q

=a（qⁿ-1），
綜上T_n═a（qⁿ-1）．…（6分）
（2）若a=2，q=2，則b_n=2ⁿ，
則c_n=log₄b_n=log₄2ⁿ=

n

2

，
∴S_n=

n(n+1)

4

，

1

Sn

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）．
則

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=4（1-

1

n+1

）≥4(1-

1

2

)=4×

1

2

=2，
即k＜2，
則正整數(shù)k的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．