Question

求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．

已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β．求證：a∥l．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：如上圖，過a作平面γ交α于b． 　　∵a∥α，∴a∥b． 　　過a作平面ε交平面β于c． 　　∵a∥β，∴a∥c．∴b∥c． 　　又bβ且cβ，∴b∥β． 　　又平面α過b交β于l，∴b∥l． 　　∵a∥b，∴a∥l． 　　證法2：如下圖，在l上任取一點A，過A和a作平面與α相交于l1，與β相交于l2，則由線面平行的性質(zhì)定理可知a∥l1，a∥l2． 　　又過一點只能作一條直線與另一條直線平行， 　　∴l(xiāng)1與l2重合． 　　又l1α，l2β，∴l(xiāng)1、l2重合于l．∴a∥l． 　　方法歸納：應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線，有時為了得到交線還需作出輔助平面．證明與平行有關(guān)的問題時，線面平行的判定定理、性質(zhì)定理、公理4常結(jié)合起來使用．

提示：

已知條件有線面平行關(guān)系，可利用線面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線平行．