Question

將拋物線C：x²=12y上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span mathtag="math" >

1

2

，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線M
（1）求曲線M的方程
（2）若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

（1）設(shè)曲線M上任意一點(diǎn)P（x，y），則 P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-12×

y

3

即 x²=-y為曲線M的方程，
（2）若過A（1，0）的直線l平行于拋物線的對稱軸時(shí)，曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)直線l的方程為：x=1；
若過A（1，0）的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2=-y

得：x²+kx-k=0，
若曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
則△=k²+4k=0，?k=0或k=-4，
∴直線l的方程：y=0或y=-4x+4．
綜上所述，故曲線C和過A（1，0）的直線l恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為：x=0或y=0或y=-4x+4．