Question

①極坐標系中，極點到直線ρcosθ+ρsinθ=2的距離等于________．
②不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．

Answer 1

    （-∞，-1]∪[4，+∞）
分析：①先利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換將直線ρcosθ+ρsinθ=2的化成直角坐標方程，再在直角坐標系中算出極點到直線的距離即可．
②先去絕對值符號確定|x+3|-|x-1|的取值范圍，然后讓a²-3a大于它的最大值即可．
解答：①直線ρcosθ+ρsinθ=2的極坐標方程為：
x+y-2=0，
∴極點到直線ρcosθ+ρsinθ=2的距離等于：
．
故答案為：
②令y=|x+3|-|x-1|
當x＞1時，y=x+3-x+1=4
當x＜-3時，y=-x-3+x-1=-4
當-3≤x≤1時，y=x+3+x-1=2x+2    所以-4≤y≤4
所以要使得不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a對任意實數(shù)x恒成立
只要a²-3a≥4即可
∴a≤-1或a≥4
故答案為：（-∞，-1]∪[4，+∞）
點評：①本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．
②本題主要考查不等式恒成立問題．大于一個函數(shù)式只需要大于它的最大值即可．