在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知拋物線y2=2px橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4,求證:圓C過(guò)定點(diǎn).
【答案】
分析:(1)根據(jù)拋物線的定義及橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.可求得p,則拋物線方程可得.
(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為
,半徑為r,根據(jù)圓心C在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4表示出r和y
的關(guān)系,代入圓的方程,根據(jù)對(duì)于任意的y
∈R,方程均成立進(jìn)而得到關(guān)于x和y的方程組,求得x和y,進(jìn)而推斷圓C過(guò)定點(diǎn).
解答:解:(1)依題意,得:
,∴p=2.
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為:y
2=4x
(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為
,半徑為r.
∵圓心C在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4∴
圓心C的方程為:
從而變?yōu)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125730284221346/SYS201310251257302842213010_DA/5.png">①
對(duì)于任意的y
∈R,方程①均成立.
故有:
解得:
所以,圓C過(guò)定點(diǎn)(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點(diǎn);試題具有一定的綜合性,覆蓋面大,不僅考查“三基”掌握的情況,而且重點(diǎn)考查學(xué)生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.