在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知拋物線y2=2px橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4,求證:圓C過(guò)定點(diǎn).
【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的定義及橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5.可求得p,則拋物線方程可得.
(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為,半徑為r,根據(jù)圓心C在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4表示出r和y的關(guān)系,代入圓的方程,根據(jù)對(duì)于任意的y∈R,方程均成立進(jìn)而得到關(guān)于x和y的方程組,求得x和y,進(jìn)而推斷圓C過(guò)定點(diǎn).
解答:解:(1)依題意,得:,∴p=2.
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=4x
(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為,半徑為r.
∵圓心C在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4∴
圓心C的方程為:
從而變?yōu)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125730284221346/SYS201310251257302842213010_DA/5.png">①
對(duì)于任意的y∈R,方程①均成立.
故有:解得:
所以,圓C過(guò)定點(diǎn)(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點(diǎn);試題具有一定的綜合性,覆蓋面大,不僅考查“三基”掌握的情況,而且重點(diǎn)考查學(xué)生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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