Question

【題目】如圖，已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于兩點(diǎn)(分別在第一四象限)，且的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)？若存在，求出雙曲線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】存在，雙曲線(xiàn)的方程為：

【解析】

當(dāng)軸時(shí)，利用三角形面積公式，結(jié)合題意求出雙曲線(xiàn)的方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式，證明當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，該雙曲線(xiàn)也滿(mǎn)足條件即可.

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn).

當(dāng)軸時(shí)，若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有個(gè)公共點(diǎn)，則.又因?yàn)?/span>的面積為8，所以，因此，解得，

雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為：，即，

此時(shí)雙曲線(xiàn)的方程為.

若存在滿(mǎn)足條件的雙曲線(xiàn)，則的方程只能為.

以下證明：當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，雙曲線(xiàn)也滿(mǎn)足條件.

設(shè)直線(xiàn)的方程為，依題意，得或，則，

記.得，同理得.由，

得，即，

由得.因?yàn)?/span>，

所以.又因?yàn)?/span>，所以，即與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

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