Question

已知函數(shù)f（x）=x²+aln x．
（I）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，求出單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值．
（II）令g（x）的導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
當(dāng)a=-2時(shí)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的值變化情況如下表

由上表可知，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）
極小值是f（1）=1，沒(méi)有極大值
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

因?yàn)間（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥ 

2

x

 -2x2在[1，+∞）上恒成立
令∅(x)=

2

x

-2x2則∅′(x)=-

2

x2

-4x當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，∅′(x)=-

2

x2

-4x＜0
∴∅(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上為減函數(shù)
∅（x）的最大值為∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范圍為[0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：求使函數(shù)單調(diào)的參數(shù)的范圍時(shí)，若函數(shù)單增則令其導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立；若單減，則令其導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立．