已知函數(shù)f（x）=lnx-x2．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=lnx-x2，x＞0，所以
令f′（x）＞0，所以0＜x＜
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在（0，）為增函數(shù)，
同理可得函數(shù)f（x）在（，+∞）為減函數(shù)．…（6分）
所以當0＜a＜時，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=lna-a2； …（9分）
當a≥時，函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，a）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）最大值為 …（12分）
綜上所述，當0＜a＜時，函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=lna-a2； 當a≥時，函數(shù)f（x）最大值為 …（13分）
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在（0，）為增函數(shù)，同理可得函數(shù)f（x）在（，+∞）為減函數(shù)，進而分類討論，確定函數(shù)f（x）在（0，a]（a＞0）上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）最大值．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確求導，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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