已知動點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方與它到直線l:x=m(m是常數(shù))的距離相等.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程C;
(2)就m的不同取值討論方程C的圖形.
分析:(1)設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo),直接利用條件寫出方程,并化簡.
(2)將軌跡方程變形化簡,得到 (x+
)
2+y
2=
+m 或(x-
)
2+y
2=
-m,討論4+m 與 4-m 的值的符號,分同為正數(shù)、一個正數(shù)一個是0時方程各表示的曲線類型.
解答:解:(1)因?yàn)樵c(diǎn)為O(0,0),所以動點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為|PO|=
,
于是動點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足(
)
2=|m-x|,
∴x
2+y
2=|m-x|,此即為動點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)由x
2+y
2=|m-x|,兩邊平方,移項(xiàng)因式分解,
得 (x
2+y
2-m+x)(x
2+y
2+m-x)=0,
∴(x+
)
2+y
2=
+m 或(x-
)
2+y
2=
-m.
①當(dāng)
+m>0且
-m>0,即
-<m<
時,點(diǎn)P的軌跡是兩個圓.
一個圓的圓心是(
-,0),半徑為
; 另一個圓的圓心是(
,0),半徑為
.
②當(dāng)m=
或m=
-時,點(diǎn)P的軌跡是一個圓和一個點(diǎn).
③當(dāng)m<
-或m>
時,點(diǎn)P的軌跡是一個圓.
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程的求法,體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想.