Question

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=a•2^x+b•4^x，其中常數(shù)a，b滿足ab＜0，若f（x+1）＞f（x），求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1），若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=b(2x+

a

2b

)2-

a2

4b

，①當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

2b

)上單調(diào)遞增，在(-

a

2b

，+∞)上單調(diào)遞減．②當(dāng)b＞0，a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

2b

)上單調(diào)遞減，在(-

a

2b

，+∞)上單調(diào)遞增．對(duì)x與-

a

2b

的大小關(guān)系分類討論即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=b(2x+

a

2b

)2-

a2

4b

，
①當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

2b

)上單調(diào)遞增，在(-

a

2b

，+∞)上單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞-

a

2b

時(shí)，f（x+1）＞f（x），恒成立，因此x＞-

a

2b

；
當(dāng)x+1＜-

a

2b

時(shí)，f（x+1）＞f（x），不成立，舍去；
當(dāng)-1-

a

2b

＜x＜-

a

2b

時(shí)，只有當(dāng)-

a

2b

-

1

2

＜x＜-

a

2b

時(shí)，f（x+1）＞f（x）．
綜上可得：當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，x的取值范圍是(-

a

2b

-

1

2

，+∞)．
②當(dāng)b＞0，a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

2b

)上單調(diào)遞減，在(-

a

2b

，+∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)x+1＜-

a

2b

時(shí)，f（x+1）＞f（x），成立；
當(dāng)x＞-

a

2b

時(shí)，f（x+1）＞f（x），不成立，舍去；
-1-

a

2b

＜x＜-

a

4b

+

1

2

時(shí)，f（x+1）＞f（x），成立．
綜上可得：當(dāng)b＞0，a＜0時(shí)，x的取值范圍是(-∞，-

a

4b

+

1

2

)．
（2）0＜f（1-2x）-f（x）＜1，即0＜ln（2-2x）-ln（1+x）＜1，
又∵函數(shù)f（x）=ln（x+1），在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
∴1＜

2-2x

x+1

＜e，2-2x＞-1，x＞-1，
解得

2-e

2+e

＜x＜

1

3

，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

2-e

2+e

，

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．