Question

已知成等差數(shù)列．又?jǐn)?shù)列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=3，此數(shù)列的前n項的和S_n（n∈N₊）對所有大于1的正整數(shù)n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的第n+1項；
（2）若，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：1≤T_n＜2（n∈N₊）

Answer 1

解：（1）∵成等差數(shù)列，
∴
∴．（2分）
∵S_n=f（S_n-1），（n≥2），
∴，
∴，
∴{}是以為公差的等差數(shù)列．（4分）
∵a₁=3，
∴S₁=a₁=3，
∴，
∴S_n=3n²（n∈N₊）．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3．（6分）
（2）由（1）得（n≥2）（8分）
所以（11分）
顯然T_n≥b₁=1，
綜上1≤T_n＜2（n∈N₊）（12分）
分析：（1）由成等差數(shù)列，知，所以．由S_n=f（S_n-1），（n≥2），知，由此能求出數(shù)列{a_n}的第n+1項．
（2）由（n≥2），，由此能證明1≤T_n＜2（n∈N₊）．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．注意裂項求和中的靈活運用．易錯點是計算量大，且比較繁瑣，容易出錯．