Question

設(shè)復(fù)數(shù)a=

1+ 3 i

2

，b=

1- 3 i

2

（其中i為虛數(shù)單位）
（1）求a²、a³、b²、b³的值；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，計(jì)算aⁿ+bⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則或三角形式的運(yùn)算法則即可得出；
（2）利用“棣莫弗定理”即可得出．

解答： 解：（1）∵復(fù)數(shù)a=

1+ 3 i

2

，b=

1- 3 i

2

，
∴a=cos

π

3

+isin

π

3

，b=cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)=

.

a

，
∴a2=cos

2π

3

+isin

2π

3

=-

1

2

+

3

2

i，b2=cos(-

2π

3

)+isin(-

2π

3

)=-

1

2

-

3

2

i．
a³=cosπ+isinπ=-1，b³=cos（-π）+isin（-π）=-1．
（2）由（1）可知：aⁿ+bⁿ=(cos

π

3

+isin

π

3

)n+[cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)]n
=2cos

nπ

3

+i[sin

nπ

3

+sin(-

nπ

3

)]
=2cos

nπ

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則或“棣莫弗定理”，屬于中檔題．