Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，橢圓上任意一點到右焦點f的距離的最大值為

2

+1．
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點C（m，0）是線段OF上異于O、F的一個定點（O為坐標原點），是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得|AC|=|BC|，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意建立關于a、b、c的方程組，解之可得a=

2

且b=1，從而得到該橢圓的標準方程；
（II）根據(jù)題意設直線l其方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓消去y得關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=

-2k

2k2+1

，從而得到AB的中點為M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），由|AC|=|BC|得CM⊥AB，利用斜率之積為-1建立關于k、m的關系式，整理后加以討論即可得答案．

解答：解：（1）∵離心率為

2

2

，橢圓上任意一點到右焦點f的距離的最大值為

2

+1．
∴e=

c

a

=

2

2

且a+c=1+

2

，解之得a=

2

，c=1，從而得到b=

a2-c2

=1
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1                 …（4分）
（II）由（I）得F（1，0），所以0＜m＜1，
假設存在滿足題意的直線l，設其方程為y=k（x-1），與橢圓方程消去y，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
代入直線方程可得y₁+y₂=

-2k

2k2+1

     …（8分）
設AB的中點為M，則M坐標為（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），
∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB可得k_CM•k_AB=-1
∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

•k=0，整理得k²（1-2m）=m
當0＜m＜

1

2

時，k=±

m 1-2m

，即存在滿足條件的直線l；
當

1

2

≤m＜1時，k不存在，即不存在滿足條件的直線l              …（12分）

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標準方程并討論等腰三角形的存在性，著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．