Question

已知函數(shù)f（x）=-ax²+bx．
（1）若a＞0，b＞0，且不等式f（x）≤1在R上恒成立，求證：b≤2

a

；
（2）若a=-

1

4

，且不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；   
（3）設(shè)0＜a＜1，b＞0，求不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得函數(shù)的最大值

0-b2

-4a

≤1，化簡(jiǎn)可得b≤2

a

．
（2）若a=-

1

4

，則f（x）=

1

4

x²+bx，由題意可得

f(0)=0≤1 f(1)= 1 4 +b≤1

，由此求得求得實(shí)數(shù)b的范圍．
（3）由于函數(shù)f（x）=-ax²+bx的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=

b

2a

＞0，且f（0）=0．故|f（x）|的最大值小于或等于1，在[0，1]上恒成立，分類(lèi)討論可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=-ax²+bx≤1在R上恒成立，∴a＞0，且函數(shù)的最大值

0-b2

-4a

≤1，
∴b²≤4a，∴|b|≤2

a

，∴b≤2

a

．
（2）若a=-

1

4

，則f（x）=

1

4

x²+bx，由不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，則有

f(0)=0≤1 f(1)= 1 4 +b≤1

求得實(shí)數(shù)b≤

3

4

．
（3）∵0＜a＜1，b＞0，∴函數(shù)f（x）=-ax²+bx的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=

b

2a

＞0，且f（0）=0．
不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立，
當(dāng)

b

2a

≤1時(shí)，由f（

b

2a

）=

b2

4a

≤1，求得0＜b≤2a．
當(dāng)

b

2a

＞1時(shí)，由f（1）=b-a≤1求得 2a＜b≤a+1．
綜上可得，0＜b≤2a 或2a＜b≤a+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．