Question

如圖，正方形A₁BA₂C的邊長為4，D是A₁B的中點(diǎn)，E是BA₂上的點(diǎn)，將△A₁DC及△A₂EC分別沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且二面角A-DC-E為直二面角．

（1）求證：CD⊥DE；   
（2）求AE與面DEC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由折疊后正方形的直角頂點(diǎn)A₁，A₂重合于A，可由線面垂直的判定定理證得AC⊥面ADE，進(jìn)而得到A-DC-E為直二面角，過A作AF⊥CD于F，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥面CDE，進(jìn)而得到AF⊥DE，再由線面垂直的判定定理得到DE⊥面ACD后，可得答案．
（2）由（1）中AF⊥面CDE，可得∠AEF為AE與面DEC所成的角，解Rt△CAD，可求出AF，解Rt△ADE可求出AE，解Rt△AFE可得答案．

解答：證明：（1）∵A₁，A₂重合于A，
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE，
∴AC⊥DE，由于A-DC-E為直二面角，
過A作AF⊥CD于F，則AF⊥面CDE
∴AF⊥DE，AC∩AF=A
∴DE⊥面ACD，
∴CD⊥DE（3分）
解：（2）∵AF⊥面CDE，
∴∠AEF為AE與面DEC所成的角，
在Rt△CAD中，AD=2AC=4，
∴DC=2

5

，AF=

4

5

又CD⊥DE
∴在正方形A₁BA₂C中，△DBE與△CA₁D相似
故

A1C

A1D

=

BD

BE

⇒BE=1（2分）
∴在Rt△ADE中，AE=3，
故在Rt△AFE中，sin∠AFE=

AF

AE

=

4 5

15

∴AE與面DEC所成的角為arcsin

4 5

15

（3分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及線面夾角的定義是解答本題的關(guān)鍵．