Question

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，橢圓C的上、下頂點分別為A₁，A₂，左、右頂點分別為B₁，B₂,左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．原點到直線A₂B₂的距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過原點且斜率為的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點，試判斷∠EF₂F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；

（3）P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點,直線PA₁，PA₂，分別交軸于點N，M,若直線OT與過點M，N 的圓G相切，切點為T.證明：線段OT的長為定值,并求出該定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）＋y²＝1 ；(2) ∠EF₂F是銳角；(3) 線段OT的長度為定值2.

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓C的離心率e＝，故設(shè)a＝2m，c＝m，則b＝m,直線A₂B₂方程為 bx ay ab＝0,所以＝，解得m＝1,故橢圓方程為＋y²＝1； (2)聯(lián)立橢圓和直線方程解出交點坐標E(，)，F(xiàn)( ， ) ，根據(jù)向量數(shù)量積為正可判斷∠EF₂F是銳角；(3) 由（1）可知A₁(0，1)A₂(0，1),設(shè)P(x₀，y₀), 直線PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ，直線PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝，接下來有兩種方法，解法一，設(shè)圓G的圓心為( ( )，h),利用圓的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|( )·|＝，利用切割線定理得求解.

試題解析：（1）因為橢圓C的離心率e＝，

故設(shè)a＝2m，c＝m，則b＝m．

直線A₂B₂方程為 bx ay ab＝0，

即mx 2my 2m²＝0．

所以＝，解得m＝1．

所以 a＝2，b＝1，橢圓方程為＋y²＝1．                         5分

由得E(，)，F(xiàn)( ， )．            .7分

又F₂(，0)，所以＝( ，)，＝(  ， )，

所以·＝( )×(  )＋×( )＝＞0．

所以∠EF₂F是銳角．                                         10分

（3）由（1）可知A₁(0，1) A₂(0， 1),設(shè)P(x₀，y₀),

直線PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ；

直線PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝；              12分

解法一:設(shè)圓G的圓心為( ( )，h),

則r²＝[ ( ) ]²＋h²＝ (＋)²＋h²．

OG²＝ ( )²＋h²．

OT²＝OG² r²＝ ( )²＋h²  (＋)² h²＝．    .14分

而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以O(shè)T²＝4，

所以O(shè)T＝2,即線段OT的長度為定值2.                              16分

解法二:OM·ON＝|( )·|＝,

而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以O(shè)M·ON＝4．

由切割線定理得OT²＝OM·ON＝4．

所以O(shè)T＝2,即線段OT的長度為定值2.                              16分

考點：橢圓直線綜合、點到直線距離公式、向量數(shù)量積的計算、圓的方程.