Question

已知函數f（x）=ax+

a-1

x

-lnx-1，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導后根據導數正負判定單調性并求極值（Ⅱ）恒成立問題轉化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-lnx-1，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f'（x）＞0得x＞1，則函數f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞），
令f'（x）＜0得0＜x＜1，則函數f（x）的單調減區(qū)間為（0，1），
則函數f（x）的極小值為f（1）=0，無極大值．
（Ⅱ）依題意有：f_min（x）≥0，x∈[1，+∞）
f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

(ax+(a-1))(x-1)

x2

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，
①當

1-a

a

≤1即a≥

1

2

時，
f'（x）≥0，x∈[1，+∞），
則f（x）在[1，+∞）單調遞增，
則f_min（x）=f（1）=a+a-1-1=2a-2≥0，
解得：a≥1，
②當

1-a

a

＞1即0＜a＜

1

2

時，
函數f（x）在[1，

1-a

a

]單調遞減，在[

1-a

a

，+∞)單調遞增，
則fmin(x)=f(

1-a

a

)＜f(1)=2a-2＜-1＜0，不合題意．
綜上所述：正數a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數求單調區(qū)間及極值，同時考查了恒成立問題及討論的思想．