Question

【題目】已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上的點(diǎn)，的周長(zhǎng)是18，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則面積的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出雙曲線的的值及，，設(shè)，，可求出，可得，直線的斜率與漸近線斜率相等，設(shè)，可得當(dāng)且P點(diǎn)位于第一象限內(nèi)面積最小，且P點(diǎn)位于第四象限內(nèi)，的面積最大，計(jì)算可得答案.

解：由為雙曲線的左右焦點(diǎn)，可得，，，

,，,由的周長(zhǎng)是18,

可得,,可得，，

設(shè)，且，由點(diǎn)在曲線上，且，

可得：且，可得，

可得：,可得漸近線方程為：，

可得直線的斜率與漸近線斜率相等，故在右支上不存在斜率與相等且與右支相切的直線，設(shè)

則面積最小時(shí)為且P點(diǎn)位于第一象限內(nèi)，此時(shí)點(diǎn)P到線段的距離等價(jià)于漸進(jìn)線到直線的距離，

易得的直線方程為：，可得漸近線上到直線的距離：，可得的最小值為：，

當(dāng)且P點(diǎn)位于第四象限內(nèi)，的面積最大為，

故可得：面積的取值范圍是，

故選：A.