Question

給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一個對稱中心是(

π

6

，0)，則a的值等于-

3

；
②函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減；
③若函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)的圖象向左平移a（a＞0）個單位后得到的圖象與原圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱，則a的最小值是

π

6

；
④已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ） （-π＜ϕ＜π），若-|f（

π

6

）|≤f（x） 對任意x∈R恒成立，則：φ=

π

6

或-

5π

6

．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷出．

解答： 解：①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一個對稱中心是(

π

6

，0)，則0=asin

π

6

+cos

π

6

，化為

1

2

a+

3

2

=0，解得a=-

3

，因此正確；
②函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，∵x∈[0，

π

2

]，∴2x∈[0，π]，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不具有單調(diào)性，因此不正確；
③若函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)的圖象向左平移a（a＞0）個單位后得到y(tǒng)=sin[2(x+a)+

π

3

]=sin(2x+2a+

π

3

)，因為此圖象與原圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱，
∴sin(2x+2a+

π

3

)=f（π-x）=sin[2(π-x)+

π

3

]=sin(-2x+

π

3

)，
∴2x+2a+

π

3

=kπ+(-1)k(-2x+

π

3

)，
當k=2n-1（n∈Z）時，化為2a=(2n-1)π-

2π

3

，當n=1時，a取得最小值

π

6

．
當k=2n（n∈Z）時，化為4x+2a=2nπ，此時不符合題意，應舍去．
可知a的最小值是

π

6

，正確；
④∵-|f（

π

6

）|≤f（x） 對任意x∈R恒成立，∴f(

π

6

)=sin(

π

3

+Φ)=±1．
∵-π＜ϕ＜π，∴Φ=

π

6

或-

5π

6

．因此正確．
綜上可知：只有①③④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于難題．