Question

如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)。在△ABC中，AB=2，AC=BC=。等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，
（Ⅰ）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD；
（Ⅱ）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE， 因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DE⊥AB， 當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)， 因?yàn)槠矫?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120202/201202021056323561088.gif">， 所以DE⊥平面ABC， 可知DE⊥CE， 由已知可得DE=，EC=1， 在Rt△DEC中，。
（Ⅱ）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD。 證明：（�。┊�(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C=BC，AD=BD， 所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD； （ⅱ）當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由（Ⅰ）知AB⊥DE， 又因AC=BC，所以AB⊥CE， 又DE，CE為相交直線， 所以AB⊥平面CDE， 由平面CDE，得AB⊥CD； 綜上所述，總有AB⊥CD。