Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn)，當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點(diǎn).

【解析】

（1）求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；

（2）通過討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可.

（3）結(jié)合二次函數(shù)的實(shí)根分布即可求解

（1）由題意，函數(shù)開口向上，對稱軸的方程為，

若使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿足，解得，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（2）①當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為；

②當(dāng)，即時，

函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為；

③當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最小值為，

綜上可得，函數(shù)的最小值為.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸方程為，且恒成立，

①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上有2個零點(diǎn)；

②當(dāng)，此時m不存在；

③當(dāng)，此時m不存在；

④當(dāng)，即，解得或時，函數(shù)在區(qū)間上有1個零點(diǎn).

綜上可得：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上有2個零點(diǎn)，

當(dāng)或時，函數(shù)在區(qū)間上有1個零點(diǎn).